一、奇特的长跑

　　小明在400米长的环形跑道上练习长跑。上午8点20分开始，小明按逆时针方向出发，1分钟后，小明掉头按顺时针方向跑，又过了2分钟，小明又掉头按逆时针方向跑。如此，按1、2、3、4、……分钟掉头往回跑。当小明按逆时针方向跑到起点，又恰好该往回跑时，他的练习正好停止。如果小明每分钟跑120米，那么他停止练习时是几点几分？他一共跑了多少米？

　　分析与解 根据题意，小明在跑1、3、5、……分钟时，每次按逆时针方向，比前一次增加 120米。他停止练习时，那次是按逆时针方向跑，并离开起点的距离应是120和400的最小公倍数1200米。于是得出他沿逆时针方向跑了1200÷120=10（次）。他停止练习前那次跑了10×2-1=19（分钟），他一共跑了 1＋2＋3＋……＋19=190（分钟），即3小时10分，由此可求出停止练习时的时刻（11时30分）和停止练习时他一共跑了的路程。

　　[120，400]=1200

　　1200÷120=10（次）

　　1+2+3+……+19=190（分钟）

　　120×190=22800（米）

即小明停止练习时是11时30分，他一共跑了22800米。

二、哥哥和弟弟

　　今年兄弟俩的年龄加起来是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数是弟弟今年的岁数，那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的两倍。问哥哥和弟弟今年年龄各是多少岁？

　　分析与解 设哥哥今年x岁，则弟弟是（55-x）岁。过去某年哥哥岁数是55-x岁，那是在x-（55-x）即2x-55年前；当时弟弟的年龄是（55-x）-（2x-55）即110-3x。列方程为

　　55-x=2（110-3x）

　　解得x=33

　　55-33=22

　　即哥哥今年33岁，弟弟今年22岁。

明明的姐姐的岁数

　　李老师问明明的姐姐今年几岁了。明明的姐姐说：“4年前，我的年龄正好是弟弟年龄的3倍。”李老师又问明明：“你姐姐今年几岁？”明明说：“姐姐今年的年龄是我今年年龄的2倍。”请问今年姐姐、弟弟各几岁？

　　分析与解 设弟弟今年x岁，姐姐今年2x岁。根据题意得，

　　3（x-4）=2x-4

　　3x-12=2x-4

　　x=8

　　2x=2×8=16

　　即姐姐今年16岁，弟弟今年8岁。

三、至少有几个人做的数学题

       9月1日开学那天，数学课代表向李老师汇报说：“我们六年级100个同学，在暑假里一共做了1600道数学题。”李老师听了非常高兴，立刻表扬了他们。接着李老师问课代表：“你知道这100个同学中，至少有几个人做的数学题一样多吗？”课代表答不出来。同学们，你能帮助课代表解答这个问题吗？

　　分析与解 把六年级的100人，按3人一组来分，可以分成33组还剩下1人。假设第一组3个人都没做题，也就是每个人都做了0道题；第二组每人都做1道题；第三组每人都做2道题；……这样第33组每人都做32道题。剩下的1个人要是和前面的99人做的题数不一样，那么至少也要做33道题。这样100人共做了：

　　3×（0+1+2+3+……+31+32）+33=1617（题）

　　超过了1600题。要不超过1600题，必须有1个同学或更多的同学少做题，合起来一共要少做17道题。其实只要有1个同学少做题，那么这个同学就可以归到做题少的那组去。这样一来，那个组就会有4个人做的题数一样多。这就是说，这100个同学中，至少有4个人做的数学题一样多。