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高一数学公式(二)

【 发布作者 J6112378

 高一数学公式(二)

  同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的关系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
 两角和差公式
两角和与差的三角函数公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
万能公式推导
附推导:
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,
(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)
再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
和差化积公式
三角函数的和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
积化和差公式
三角函数的积化和差公式
sinα ·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα ·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα ·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα ·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
等比数列公式
  如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。
  (1)等比数列的通项公式是:An=A1×q^(n-1)
  若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
  (2) 任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)
  (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
  (4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
  记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
  另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
  性质:
  ①若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;
  ②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.
  “G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.
  (5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)Sn=n*a1 (q=1)
  在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.
  注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
  等比数列在生活中也是常常运用的。
  如:银行有一种支付利息的方式---复利。
  即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,
  再计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。
  按照复利计算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期
等差数列公式
  等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d
  或an=am+(n-m)d
  前n项和公式为:Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=(a1+an)n/2
  若m+n=p+q则:存在am+an=ap+aq
  若m+n=2p则:am+an=2ap
  以上n均为正整数
  文字翻译
  第n项的值=首项+(项数-1)*公差
  前n项的和=(首项+末项)*项数/2
  公差=后项-前项
 
对称数列公式
  对称数列的通项公式:
  对称数列总的项数个数:用字母s表示
  对称数列中项:用字母C表示
  等差对称数列公差:用字母d表示
  等比对称数列公比:用字母q表示
设,k=(s+1)/2
 
一般数列的通项求法
  一般有:
  an=Sn-Sn-1 (n≥2)
  累和法(an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an)。
  逐商全乘法(对于后一项与前一项商中含有未知数的数列)。
  化归法(将数列变形,使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列)。
  特别的:
  在等差数列中,总有Sn S2n-Sn S3n-S2n
  2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
  即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列
  不动点法(常用于分式的通项递推关系)
特殊数列的通项的写法
  1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n
  1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
  2,4,6,8,10,12,14.......-------an=2n
  1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
  -1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n
  1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)
  1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2
  1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
  9,99,999,9999,99999,......... ------an=(10^n)-1
  1,11,111,1111,11111.......--------an=[(10^n)-1]/9
  1,4,9,16,25,36,49,.......------an=n^2
  1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)
数列前N项和公式的求法
  (一)1.等差数列:
  通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数
  an=ak+(n-k)d ak为第k项数
  若a,A,b构成等差数列 则A=(a+b)/2
  2.等差数列前n项和:
  设等差数列的前n项和为Sn
  即Sn=a1+a2+...+an;
  那么Sn=na1+n(n-1)d/2
  =dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
  还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法3 倒序相加法
  (二)1.等比数列:
  通项公式an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项
  an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
  则an/am=q^(n-m)
  (1)an=am*q^(n-m)
  (2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)
  (3)若m+n=p+q 则am×an=ap×aq
  2.等比数列前n项和
  设a1,a2,a3...an构成等比数列
  前n项和Sn=a1+a2+a3...an
  Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)
  Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
  注: q不等于1;
  Sn=na1 注:q=1
  求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法(即数学归纳法)2 累乘法3 错位相减法 4 倒序求和法5 裂项相消法